Logika i skupovi – Osnovne skupovne operacije – sazeto

 

• Skup je jedan od osnovnih pojmova u matematici.
  Sinonimi za skup su: mnozina, mnostvo, kolekcija.


• Relacija clanstva:
  Neka je dat skup S i njegov clan p (pisemo: p ∈ S).
  Negacijom, relacija p ∈ S postaje p ∉ S, sa znacenjem: p nije element skupa S.
  Znak ∈ potice od italijanskog matematicara G. Peano-a (1850. – 1932.), te se relacija clanstva naziva jos i Peanova relacija.
• Podskup skupa ili relacija “biti deo od”
  Ako imamo dva skupa A i B, za koje vazi da je svaki element skupa A istovremeno i element skupa B, tada se skup A naziva delom ili podskupom skupa B, u oznaci: A ⊆ B. Simbolicki:
  A  ⊆ B  ⇔^def {x|x ∈ A ⇒ x ∈ B}. Ova se relacija jos naziva i Kantorova relacija po nemackom matematicaru G. Cantoru (1845. – 1918.)
• Presek skupova:
  Presek skupova (zajednicki deo posmatranih skupova) sastoji se od onih i samo onih elemenata koji pripadaju svim datim skupovima. Simbolicki, za dva skupa: A ∩ B  ⇔^def {x|x ∈ A  ∧  x ∈ B}.
  Simbolicki, za tri skupa: A ∩ B ∩ C ⇔^def {x|x∈A  ∧  x∈B  ∧  x∈C}.
• Unija skupova:
  (zbir, zdruzivanje, spoj) oznacava skup sastavljen od onih i samo onih elemenata koji pripadaju bar jednom od skupova iz te unije. Simbolicki, za dva skupa: A  ∪  B  ⇔^def {x|x ∈ A  OVDE FALI SLIKA   x ∈ B}.
• Razlika dva skupa:
  Oznacava se kao AB i ovaj skup cine samo oni elementi skupa A, koji ne pripadaju skupu B (A “bez” B). Simbolicki:  A    B  ⇔^def C = {x|x ∈ A  ∧  x ∈ B}  C ⊆ A.
• Simetricna razlika:
  Neka su A i B dva neprazna skupa. Unija skupova: AB i BA cini njihovu simetricnu razliku. Simbolicki: A Δ B ⇔^def (AB) ∪ (BA).
• Komplement skupa:
  Neka je A bilo koji podskup skupa S (A ⊆ S).
  Razlika skupa S i ma kog njegovog podskupa A, naziva se komplement skupa A i oznacava se sa A’.  Simbolicki: A’ ⇔^def {x|x ∈ SA}.
• Partitivni skup:
  Neka je A proizvoljan neprazan skup, a P(A) skup svih podskupova skupa A. Tada se P(A) naziva partitivni skup skupa A. Simbolicki: P(A) ⇔^def {x|x ⊆ A}. Podskupovi skupa A su i sam skup A, kao i prazan skup Ø.
• Jednakost skupova:
  Ako je ispunjeno: A ⊆ B i B ⊆ A, tada kazemo da su skupovi A i B jednaki (poklapaju se, identicni su).  Simbolicki: A = B ⇔^def A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
• Uredjene dvojke:
  Neka su A i B neprazni skupovi i neka su a ∈ A i b ∈ B elementi ovih skupova.
  Kazemo da je (a,b) uredjena dvojka ili uredjen par, ako smo element “a” proglasili prvim, a element “b” drugim clanom ovog para. U uredjenom paru element “a” se naziva prva komponenta a element “b” druga komponenta ovog para. Za dva uredjena para kazemo da su jednaka ako je tacna ekvivalencija: (x,y) = (a,b) ⇔ x=a ∧ y=b.
• Dekartov proizvod (Kartezija):
  Dekartov proizvod nepraznih skupova A i B, u oznaci A x B, je skup uredjenih parova (x,y) pri cemu x ∈ A i y ∈ B. Simbolicki:  A x B ⇔^def {(x,y)|x ∈ A ∧ y ∈ B}. Dekartov proizvod nepraznog skupa A sa samim sobom naziva se kvadrat skupa A, u oznaci A x A = A².